数值分析：Python实现高斯赛德尔迭代法（Gauss

2024-02-01 16:45| 来源: 网络整理| 查看: 265

Python实现高斯赛德尔迭代法（Gauss-Seidel）与雅可比迭代法（Jacobi）

数值分析：Python实现高斯赛德尔迭代法（Gauss-Seidel）与雅可比迭代法（Jacobi）一、基本迭代法

在这里插入图片描述

二、雅可比迭代法（Jacobi）

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三、高斯—赛德尔迭代法（Gauss-Seidel）在这里插入图片描述

题目：分别使用雅可比迭代法与高斯—赛德尔迭代法求解Ax=b线性方程组，其中A为10阶希尔伯特矩阵输出解向量与迭代次数。希尔伯特矩阵 Hilbert matrix

希尔伯特矩阵（Hilbert matrix），矩阵的一种，其元素A（i,j）=1/(i+j-1)，i,j分别为其行标和列标。在这里插入图片描述

代码实现：

import numpy as np n=10 def Jacobi(A,b,x0,xstar): k=0 while True: for i in range(0, n): sum = 0.0 for j in range(0, i): sum = sum + A[i][j] * x0[j] for j in range(i + 1, n): sum = sum + A[i][j] * x0[j] xstar[i] = (b[i] - sum) / A[i][i] temp = np.fabs(xstar[0] - x0[0]) for j in range(1, n): if np.fabs(xstar[j] - x0[j]) > temp: temp = np.fabs(xstar[j] - x0[j]) for j in range(0, n): x0[j] = xstar[j] k = k + 1 if (temp 1000) : break print("Jacobi:",k) def Gauss(A,b,x0,xstar): k = 0 while True: for i in range(0, n): sum = 0.0 for j in range(0, i): sum = sum + A[i][j] * xstar[j] for j in range(i + 1, n): sum = sum + A[i][j] * x0[j] xstar[i] = (b[i] - sum) / A[i][i] temp = np.fabs(xstar[0] - x0[0]) for j in range(1, n): if np.fabs(xstar[j] - x0[j]) > temp: temp = np.fabs(xstar[j] - x0[j]) for j in range(0, n): x0[j] = xstar[j] k = k + 1 if (temp 1000) : break print("Gauss:",k) def main(): A=np.zeros([n,n],float) b=np.zeros(n,float) x0=np.zeros(n,float) Jex = np.zeros(n,float) GSex = np.zeros(n,float) for i in range(0,n): for j in range(0,n): A[i][j] = 1./(i+1+j) for i in range(0,n): A[i][i] = A[i][i] + 0.5 b[i] = 1 x0[i] = 0 Jacobi(A,b,x0,Jex) for i in range(0,n): x0[i] = 0 Gauss(A,b,x0,GSex) for i in range(0,n): print("Jex[",i,"]=",Jex[i]) print("\n") for i in range(0,n): print("GSex[",i,"]=",GSex[i]) if __name__ == '__main__': main()

通过编码计算，对比两种算法的收敛速度与结果。可以看出，高斯赛德尔迭代法的收敛速度比雅可比迭代法收敛速度要快的多。

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